一维前缀和

题目描述

输入一个长度为n的整数序列。
接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。
对于每个询问，输出原序列中从第$l$个数到第$r$个数的和。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数数列。
接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式
共m行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
$1<=l<=r<=n$

$1<=n,m<=100000$

$-1000<=$数列中元素的值$<=1000$

题目分析

此类题可以推算出一种公式。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], s[N];
int main(){
    // 分别输入序列长度n 与 访问次数 m
    scanf("%d %d", &n, &m);
    // 输入整数序列，从1开始
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    // 初始化前缀和，从1开始
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        s[i] = s[i - 1] + a[i];

    // 依次输入询问对
    while(m --){
        int l, r;
        scanf("%d %d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }

    return 0;
}

运行结果

输入

6 3
1 2 3 4 5 6
1 2
1 4
2 5

输出

3
10
14

总结

求前缀和，主要考虑区间端点，根据推算的公式可以将其直接运用，需要注意的是$S_0=0$此处要控制边界。

二维前缀和

题目描述

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

输入格式
第一行包含三个整数n， m，q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含四个整数x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
$1<=n,m<=1000$

$1<=q<=100000$

$1<=x_1<=x_2<=n$

$1<=y_1<=y_2<=m$

$-1000<=$矩阵内元素的值$<=1000$

题目分析

此类题可以推算出一种公式。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];
int main(){
    // 分别输入序列长度n 与 访问次数 m
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &q);
    // 输入整数矩阵
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    // 初始化矩阵前缀和
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];

    // 依次输入询问对
    while(q --){
        int x1 ,y1, x2, y2;
        scanf("%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);  // 算子矩阵的和
    }

    return 0;
}

运行结果

输入

输出

17
27
21

总结

矩阵序列同样可以通过一维类似的方式进行解决，通过分析图解推导公式最后代入公式即可